Memahami Akar Ganda Pada Metode Numerik Berikut Contoh Dan Penjelasannya

Assalamu’alaikum teman” .. Dibuatnya artikel ini yaitu untuk memenuhi tugas dari Dosen Metode Numerik saya sebagai bentuk perbaikan nilai UTS, karna nilai UTS saya kecil L Jadi saya di berikan tugas remedial .. dan juga sebagai bentuk pembelajaran bagi saya karna dengan begini saya mencoba untuk lebih memahami materi mengenai Metode Numerik ini, mencari tahu bagaimana penyelesaian, sebab hasil, dsb secara otodidak .. 

Disini saya akan menjelaskan akar ganda berikut dengan contoh dan penjelasannya. Apa itu akar ganda ? Nahh, gini loh .. Akar ganda itu bisa terjadi di sebabkan karena sebuah fungsi menyinggung sumbu x. Contohnya :

 f(x) = x³ – 5x² + 7x – 3 = (x – 3)(x - 1)(x - 1)

Contoh fungsi di atas , memiliki akar ganda dua di x = 1, karena satu nilai menyebabkan dua faktor dalam persamaan tersebut. Itu juga berarti x = 1 menyentuh sumbu x secara bersinggungan pada akar ganda tersebut.

Contoh lainnya :

f(x) = x⁴ – 6x³ + 12x² –  10x + 3 = (x – 3)(x - 1)(x - 1) (x - 1)

Contoh diatas memiliki akar ganda tiga di x = 1, satu nilai x membuat tiga faktor dalam suatu persamaan.

Untuk mencari akar ganda di temukan berbagai kesulitan, tetapi disini saya tidak akan memaparkan serangkaian alternatif metode yang di gunakan untuk mencari akar ganda ini. Langsung pada intinya, yaitu dengan alternatif metode Newton –Raphson yang di usulkan oleh Ralston dan Robinowitz.

Metode Newton – Raphson baku :

x_{r+1 =} x_r – m f(x_r) / f(x_r)

 

Metode Newton – Raphson yang di modifikasi :

x_{r+1 =} x_r – f(x_r) f’(x_r) / [f’(x_r)]² – f’’(x_r) f(x_r)
  
atau    

x_{r+1 =} x_r – u(x_r) (x_r+1 - x_r ) / u (x_r+1) – u(x_r)

Keterangan :

f(x) =  u(x)

f’(x) = turunan pertama dari fungsinya itu

f’’ (x) turunan keduanya

Contoh :

Hitung akar ganda dengan menggunakan Metode Newton – Raphson baku dan yang di modifikasi fungsi f(x) = x³ – 5x² + 7x – 3 dengan tebakan awal x_{0 =} 0.

Penyelesaian : 
Pertama, kita buat turunannya dulu sampai turunan kedua.

f(x) = x³ – 5x² + 7x – 3

f’(x) = 3x² – 10x + 7

f’’(x) = 6x – 10

Menghitung dengan metode Newton – Raphson baku :

x_{r+1 =} x_r – m f(x_r) / f(x_r)

x_{r+1 =} x_r – x_r³ – 5x_r² + 7x_r – 3 / 3x_r² – 10x_r + 7
 
 

Menghitung dengan metode Newton – Raphson yang di modifikasi :

x_{r+1 =} x_r – f(x_r) f’(x_r) / [f’(x_r)]² – f’’(x_r) f(x_r)

x_{r+1 =} x_r – (x_r³ - 5x_r² + 7x_r – 3) / (3x_r² – 10x_r + 7)²  – (6x_r - 10) (x_r³ - 5x_r² + 7x_r – 3)
 

Tabel lelarannya adalah :

Metode Newton – Raphson baku		Metode Newton Raphson yang di modifikasi :
r	xr	r	xr
0	0,000000000	0	0,000000000
1	0,428571429	1	1,105263158
2	0,685714286	2	1,003081664
3	0,832865400	3	1,000002382
4	0,913328983
5	0,955783293
6	0,977655101

Sekian penjelasan dari saya mengenai Akar Ganda, Semoga dapat di pahami yaa .. Adapun kritik dan saran sangat saya harapkan demi bertambahnya pengetahuan saya. Terima kasih .. 

Daaahhhhh .......